Характеристическая поверхность
Published on Dec 15, 2024 by Horhik.

Есть у тебя загадка (Диффур)

И какое-то количество подсказок к ней (начальные условия)

Но изначально все слагается так, что подсказок тебе будто бы не хватает, что бы решить загадку

Но потом! Кое-кто берет и эту загадку пересказывает по другому, как-то переформулирует (Найдет характеристическую поверхность)

И вот с такой переформулировкой загадки получается так, что разгадка - просто комбинация подсказок

У нас есть УРЧП и в нем содержатся все возможные частные производные по нашей функции с коэффициентами

\(u = \sum\limits_{|\alpha| < m} a_{\alpha}D^{\alpha}u - f(x) = 0\)

А также все возможные начальные условия.

А что бы задача коши РЕШАЛАСЬ, нам нужные ВСЕ начальные условия для МЛАДШИХ порядков (максимум возможных подсказок к загадке, но не все) (т.е. на dx мы даем начальные условия, на dx² уже нет, тогда бы решение было бы очевидно, в этом и проблема)

А потом мы находили характеристическое уравнение (уравнение такой поверхности, на которой старшие производные превращаются в 0)

И дальше мы переходим на эту характерестическую поверхность (делаем замену) (переформулируем загадку)

И когда наше уравнение уже на характерестической поверхности, но получается так, что старшие коэффициенты там НУЛЕВЫЕ (ну собственно по условию, мы так и определили эту поверхность, что коэффициенты при старших производных НУЛЕВЫЕ)

А раз уш старшие коэффициенты НУЛЕВЫЕ, тогда в уравнении остаются только МЛАДШИЕ. А на младшие заданы начальные условия, т.е. по сути у нас уже есть все значения для полного решения уравенения (теперь нам достаточно подсказок)